25.03.2021

Jan Mareš

Ačkoliv se mezi čísly, analýzami a statistikami pohybuji už řadu let, narážím občas na zajímavosti z oboru, o kterých jsem do té doby neměl tušení. O jednu z nich, která má v dnešním komplexním a komplikovaném světě obrovský potenciál využití, se s vámi chci v tomto článku podělit.

Když jsem přemýšlel, jak vám tento dnes už potvrzený přírodní zákon, který byl dlouhá desetiletí považován jen za pouhou zvláštnost, někdy dokonce numerologický trik, vhodně popsat, napadl mě následující příklad. Pojďte si se mnou zahrát hru.

Vezměte si situaci – sedíme coby dva hráči proti sobě u stolu, máme k dispozici hrací kostku a budeme házet. Pokud padne některé číslo od 1 do 3, vyhrávám já. Jestliže padne 4 až 6, vyhráváte vy. Takto budeme házet mnohokrát po sobě. Šance, že celé „klání“ vyhraji já nebo vy je stále 50:50, respektive 1:1. Nelze předem odhadnout vítěze. Rozhodne náhoda, nebo chcete-li „štěstí“.

Nyní namísto kostky vezmeme kalkulačku. Budeme na ní zcela náhodně zadávat násobky vysokých čísel, aby nebylo možné si je z hlavy snadno vypočítat. Pokud první číslice vypočítané sumy bude odpovídat 1, 2 nebo 3, vyhrávám já. Na vás v této hře připadají výherní číslice 4 až 6 a navíc získáváte i zbývající číslice na kalkulačce 7 až 9. Kdo má nyní větší šanci na výhru – já se třemi číslicemi, nebo vy s dvojnásobným počtem variant? Intuice vcelku logicky naznačuje, že větší pravděpodobnost výhry máte v této situaci vy – poměr se tedy mění ve váš prospěchu na 1:2.

A co když vám řeknu, že za určitých podmínek nemáte šanci proti mně vyhrát, ačkoliv mám k dispozici méně výherních variant než vy? Jinými slovy situace, kdy výsledná cifra bude začínat číslem 1-2 nebo 3 bude častější, než že bude začínat čísly 4-5-6-7-8 nebo 9.

Tento jev definuje tzv. Benfordův zákon, který je obecně platným matematickým zákonem, jež říká, že ve skupině čísel, které reprezentují reálné hodnoty jakékoliv veličiny, je zhruba 30,1% pravděpodobnost, že první číslovkou bude jednička, 17,6 % čísel bude začínat dvojkou, 12,5 % trojkou...a jen 4,57 % bude začínat devítkou. Pravděpodobnost, že padne 1-2-3 je tedy nějakých 60,2 %. To znamená, že z 1000 čísel bude v průměru 300 začínat jedničkou, 176 dvojkou, 125 trojkou a jen 46 bude mít na prvním místě devítku.

Možná sami tušíte, že v téhle hře se dají vyhrát slušné peníze nebo cokoliv jiného. Toto pravidlo se dá aplikovat výhradně na velké soubory dat obsahující čísla v rozsahu alespoň tří řádů. Už od stovky dat (například výsledků násobků) však získáte poměrně přesné výstupy.

S objevem poprvé přišel matematik Simon Newcombe, který si všiml, že logaritmické tabulky v technické knihovně mají mnohem více ohmatané stránky počínající jedničkou. Usoudil, že vědci a studenti přírodovědných a společenských oborů, kteří tabulky používají, se při práci častěji setkávají s čísly začínajícími 1 nebo 2 než s čísly začínajícími 8 nebo 9. Neuvedl však žádnou konkrétní analýzu. S tou přišel až v roce 1938 fyzik Frank Benford, který leta sbíral číselné údaje z různých zdrojů (například měrné skupenské teplo chemických sloučenin, plochy povodí řek, čísla objevující se na novinových titulkách apod.) a potvrdil, byť jinou cestou, Newcombův úsudek.

Benfordův zákon vám bohužel nezvýší vaše šance na výhry v loterii (i když nad přítelem v neškodné hře si jistě přilepšit dokážete). Je však možné jej aplikovat například na ověřování manipulace veřejným míněním a volebními výsledky – figuroval například v kauze ruských prezidentských voleb v roce 2012. Své využití má v praxi ale i při odhalování účetních podvodů – například v kauze s podvodným vykazovaným společnosti Enron Corporation v roce 2002.

Ačkoliv tento zákon neumožňuje odhalit konkrétní příčiny nesrovnalostí v datech, dokáže upozornit na jejich možné zkreslení, které lze následně podrobit hlubší analýze. V době velkých dat, tzv. Big Dat, má proto uplatnění Benfordova zákona obrovský potenciál, ačkoliv se o něm veřejně příliš nemluví. Je také krásným důkazem toho, jak naše intuice může ovlivňovat náš vlastní úsudek. Proti zákonům přírody však nemá lidská logika šanci. Ostatně jak prohlašoval Albert Einstein: Vše v přírodě má pevný řád a nic nepodléhá náhodě. Přírodní zákony platí všude stejným způsobem.